Какой энергией обладает упруго деформированное тело. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Потенциальная и кинетическая энергия. Закон сохранения механической энергии – FIZI4KA

ОГЭ 2018 по физике ›

1. Камень, упав с некоторой высоты на Землю, оставляет на поверхности Земли вмятину. Во время падения он совершает работу по преодолению сопротивления воздуха, а после касания земли — работу по преодолению силы сопротивления почвы, поскольку обладает энергией.

Если накачивать в закрытую пробкой банку воздух, то при некотором давлении воздуха пробка вылетит из банки, при этом воздух совершит работу по преодолению трения пробки о горло банки, благодаря тому, что воздух обладает энергией. Таким образом, тело может совершить работу, если оно обладает энергией.

Энергию обозначают буквой ​\( E \)​. Единица работы — ​\( [E\,] \)​ = 1 Дж.

При совершении работы изменяется состояние тела и изменяется его энергия. Изменение энергии равно совершенной работе: ​\( E=A \)​.

2.Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия тел или частей тела, зависящую от их взаимного положения.

Поскольку тела взаимодействуют с Землёй, то они обладают потенциальной энергия взаимодействия с Землёй.

Если тело массой ​\( m \)​ падает с высоты ​\( h_1 \)​ до высоты ​\( h_2 \)​, то работа силы тяжести ​\( F_т \)​ на участке ​\( h=h_1-h_2 \)​ равна: ​\( A = F_тh = mgh = mg(h_1 — h_2) \)​ или \( A = mgh_1 — mgh_2 \) (рис. 48).

В полученной формуле ​\( mgh_1 \)​ характеризует начальное положение (состояние) тела, \( mgh_2 \) характеризует конечное положение (состояние) тела. Величина \( mgh_1=E_{п1} \) — потенциальная энергия тела в начальном состоянии; величина \( mgh_2=E_{п2} \) — потенциальная энергия тела в конечном состоянии.

Можно записать ​\( A=E_{п1}-E_{п2} \)​, или \( A=-(E_{п2}-E_{п1}) \), или \( A=-E_{п} \).

Если тело находится на некоторой высоте ​\( h \)​ относительно поверхности Земли, то его потенциальная энергия в данном состоянии равна ​\( E_п=mgh \)​. Значение потенциальной энергии зависит от того, относительно какого уровня она отсчитывается. Уровень, на котором потенциальная энергия равна нулю, называют нулевым уровнем.

В отличие от кинетической энергии потенциальной энергией обладают покоящиеся тела. Поскольку потенциальная энергия — это энергия взаимодействия, то она относится не к одному телу, а к системе взаимодействующих тел. В данном случае эту систему составляют Земля и поднятое над ней тело.

3. Потенциальной энергией обладают упруго деформированные тела. Предположим, что левый конец пружины закреплён, а к правому её концу прикреплён груз. Если пружину сжать, сместив правый её конец на ​\( x_1 \)​, то в пружине возникнет сила упругости ​\( F_{упр1} \)​, направленная вправо (рис. 49).

Если теперь предоставить пружину самой себе, то её правый конец переместится, удлинение пружины будет равно \( x_2 \)​, а сила упругости \( F_{упр2} \).

Работа силы упругости равна

\[ A=F_{ср}(x_1-x_2)=k/2(x_1+x_2)(x_1-x_2)=kx_12/2-kx_22/2 \]

​\( kx_12/2=E_{п1} \)​ — потенциальная энергия пружины в начальном состоянии, \( kx_22/2=E_{п2} \) — потенциальная энергия пружины во конечном состоянии. Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины.

Можно записать ​\( A=E_{п1}-E_{п2} \)​, или \( A=-(E_{п2}-E_{п1}) \), или \( A=-E_{п} \).

Знак «–» показывает, что при растяжении и сжатии пружины сила упругости совершает отрицательную работу, потенциальная энергия пружины увеличивается, а при движении пружины к положению равновесия сила упругости совершает положительную работа, а потенциальная энергия уменьшается.

Если пружина деформирована и её витки смещены относительно положения равновесия на расстояние ​\( x \)​, то потенциальная энергия пружины в данном состоянии равна ​\( E_п=kx2/2 \)​.

4. Движущиеся тела так же могут совершить работу. Например, движущийся поршень сжимает находящийся в цилиндре газ, движущийся снаряд пробивает мишень и т.п. Следовательно, движущиеся тела обладают энергией.

Энергия, которой обладает движущееся тело, называется кинетической энергией. Кинетическая энергия ​\( E_к \)​ зависит от массы тела и его скорости \( E_к=mv2/2 \). Это следует из преобразования формулы работы.

Работа ​\( A=FS \)​. Сила ​\( F=ma \)​. Подставив это выражение в формулу работы, получим ​\( A=maS \)​.

Так как ​\( 2aS=v2_2-v2_1 \)​, то ​\( A=m(v2_2-v2_1)/2 \)​ или \( A=mv2_2/2-mv2_1/2 \), где ​\( mv2_1/2=E_{к1} \)​ — кинетическая энергия тела в первом состоянии, \( mv2_2/2=E_{к2} \) — кинетическая энергия тела во втором состоянии.

Если сила совершает положительную работу, то кинетическая энергия тела увеличивается, если работа силы отрицательная, то кинетическая энергия тела уменьшается.

5. Полная механическая энергия ​\( E \)​ тела — физическая величина, равная сумме его потенциальной ​\( E_п \)​ и кинетической \( E_п \) энергии: \( E=E_п+E_к \).

Пусть тело падает вертикально вниз и в точке А находится на высоте ​\( h_1 \)​ относительно поверхности Земли и имеет скорость ​\( v_1 \)​ (рис. 50).

В точке В высота тела \( h_2 \) и скорость \( v_2 \) Соответственно в точке А тело обладает потенциальной энергией ​\( E_{п1} \)​ и кинетической энергией \( E_{к1} \), а в точке В — потенциальной энергией \( E_{п2} \) и кинетической энергией \( E_{к2} \).

При перемещении тела из точки А в точку В сила тяжести совершает работу, равную А. Как было показано, ​\( A=-(E_{п2}-E_{п1}) \)​, а также \( A=E_{к2}-E_{к1} \). Приравняв правые части этих равенств, получаем: ​\( -(E_{п2}-E_{п1})=E_{к2}-E_{к1} \)​, откуда \( E_{к1}+E_{п1}=E_{п2}+E_{к2} \) или ​\( E_1=E_2 \)​.

Это равенство выражает закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют консервативные силы (силы тяготения или упругости) сохраняется.

В реальных системах действуют силы трения, которые не являются консервативными, поэтому в таких системах полная механическая энергия не сохраняется, она превращается во внутреннюю энергию.

• Примеры заданий
• Ответы

Часть 1

1. Два тела находятся на одной и той же высоте над поверхностью Земли. Масса одного тела ​\( m_1 \)​ в три раза больше массы другого тела ​\( m_2 \)​. Относительно поверхности Земли потенциальная энергия

1) первого тела в 3 раза больше потенциальной энергии второго тела 2) второго тела в 3 раза больше потенциальной энергии первого тела 3) первого тела в 9 раз больше потенциальной энергии второго тела

4) второго тела в 9 раз больше потенциальной энергии первого тела

2. Сравните потенциальную энергию мяча на полюсе ​\( E_п \)​ Земли и на широте Москвы ​\( E_м \)​, если он находится на одинаковой высоте относительно поверхности Земли.

1) ​\( E_п=E_м \)​
2) \( E_п>E_м \)
3) \( E_п

Источник: https://fizi4ka.ru/ogje-2018-po-fizike/potencialnaja-i-kineticheskaja-jenergija-zakon-sohranenija-mehanicheskoj-jenergii.html

Каким выражением определяется потенциальная энергия деформированной пружины

Деформированное упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в недеформированное состояние, совершить работу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией.

Она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е.

найдем потенциальную энергию растянутой пружины.

Пусть растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь, совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению.

Если первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось , то первоначальное значение силы упругости составляло , где — коэффициент пропорциональности, который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно убывает от значения до нуля.

Значит, среднее значение силы равно . Можно показать, что работа равна этому среднему, умноженному на перемещение точки приложения силы:

.

Таким образом, потенциальная энергия растянутой пружины

(98.1)

Такое же выражение получается для сжатой пружины.

В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через ее растяжение . Заменив на , где — упругая сила, соответствующая растяжению (или сжатию) пружины , получим выражение

, (98.2)

которое определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой . Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т.е.

чем больше ее упругость, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей, силе.

Читать также:  Циркуляционные насосы для отопления частных домов установка

Эта закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при слабой накачке.

© 2019 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией, так как изменяется взаимное расположение отдельных частей тела. Рассмотрим случай растяжения пружины.

Растяжение будем производить очень медленно, чтобы силу , с которой мы действуем на пружину, можно было считать все время равной по модулю упругой силе. Тогдагдек, х – соответственно жесткость и удлинение пружины. Тогда работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение (или сокращение) х пружины, равна

(8.12)

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид

, (8.13)

если считать, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю.

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна

, (8.14)

где – объем стержня.

Отношение энергии к тому объему, в котором она заключена, называетсяплотностью энергииu. Тогда – плотность энергии упругой деформации при растяжении (или сжатии).

Аналогично нетрудно получить, что плотность энергии деформации при сдвиге равна .

6. Кручение

Деформации кручения и изгиба являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку, верхний конец ее закрепим, а к нижнему концу приложим закручивающие силы. Они создадут вращающий момент относительно продольной оси проволоки. При этом каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения имеет вид

Читать также:  Обзор ручных фрезеров по дереву

, (8.15)

где – модуль кручения, постоянная для данной проволоки. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Выведем выражение для модуля кручения.

Разделим ее на объем трубки . Найдем плотность упругой энергии при деформации кручения

(8.16)

Найдем эту же величину иначе.

Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть (рис.8.5).

В результате кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение . Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге равна

(8.17)

Приравнивая его выражению (8.16), находим искомое соотношение

(8.18)

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль найдется интегрированием последнего выражения по. Это дает где – внутренний радиус трубки,– внешний радиус трубки.

Для сплошной проволоки радиуса модуль кручения .

Контрольные вопросы

Что называется деформацией? Какие деформации называются упругими? Приведите примеры упругих деформаций.

Какова физическая сущность упругих сил?

Сформулируйте закон Гука? Когда он справедлив?

Дайте объяснение качественной диаграмме напряжений. Что такое предел пропорциональности, упругости и прочности?

Что такое упругий гистерезис и упругое последействие?

Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?

Что такое упругое последействие?

Выведите выражения для деформаций при всестороннем растяжении.

Что называется коэффициентом Пуассона?

Определите энергию деформированного тела.

Что называется плотностью упругой энергии? Получите формулы этой энергии при растяжении и сдвиге.

А. mv²/2Б.mvВ.mghГ. kx²/22. Каково наименование единицы кинетической энергии, выраженное через основные единицы Международной системы?А.1кг·мБ.1 кг·м/сВ.1кг·м²/сГ.1кг·м²/с²

3. Чему равна кинетическая энергия тела массой 3 кг, движущегося со скоростью 4 м/с?

Источник: https://morflot.su/kakim-vyrazheniem-opredeljaetsja-potencialnaja/

Потенциальная энергия пружины и кинетическая – что это, какая формула?

Во многих механизмах используется потенциальная и кинетическая энергия пружины. Их используют для выполнения различных действий.

В отдельных узлах они фиксируют детали в определенном положении, не позволяя смещать в какую-либо сторону (барабан револьвера относительно корпуса).

Другие пружинные системы возвращают исполнительный механизм в исходное положение (курок ручного огнестрельного оружия). Есть устройства, где узлы с гибкими свойствами совершают перемещения в устойчивое положение (механические стабилизаторы).

Работа связана с изменением геометрических параметров упругого тела. Прилагая нагрузку, заставляют эластичную деталь сжиматься (растягиваться или изгибаться). При этом наблюдается запасание энергии. Возвратное действие сопровождается набором скорости. Попутно возрастает кинетическая энергия.

Потенциальная энергия пружины

Рассматривая в качестве накопителя энергии пружину, следует отметить ее отличительные свойства от иных физических тел, которые могут накапливать энергетический потенциал. Традиционно понимается следующее: для накопления потенциала для последующего движения необходимо совершение движения в силовом поле:

Еп = F ⋅ l, Дж (Н·м),

где Еп– потенциальная энергия положения, Дж;
F – сила, действующая на тело, Н;
l – величина перемещения в силовом поле, м.

Энергия (работа) измеряются в Джоулях. Величина представляет произведение силы (Н) на величину перемещения (м).

Еп = G ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h, Дж

здесь G – вес тела, Н;
m – масса тела, кг;
g – ускорение свободного падения. На Земле эта величина составляет g = 9,81 м/с².

Если расстраивается пружина, то силу F нужно определять, как величину, пропорциональную перемещению:

F = K ⋅ x, Н,

где k – модуль упругости, Н/м;
х – перемещение при сжатии, м.

Величина сжатия может изменяться по величине, поэтому математики предложили анализировать подобные явления с помощью бесконечно малых величин (dx) .

При наличии непостоянной силы, зависящей от перемещения, дифференциальное уравнение запишется в виде:

dEп = k ⋅ x ⋅ dx

здесь dEп – элементарная работа, Дж;
dx – элементарное приращение сжатия, Н.

Интегральное уравнение на конечном перемещении запишется в виде. Ниже вывод формулы:

Пределами интегрирования является интервал от 0 до х. Деформированная пружина приобретает запас по энергетическим показателям

Окончательно формула для расчета величины потенциальной энергии сжатия (растягивания или изгиба) пружины запишется формулой:

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии существует независимо от желания наблюдателя. Все физические законы имеют статистический характер: существуют только подтверждения их выполнения, нет ни одного адекватно выполненного опыта, при котором наблюдается нарушение этой закономерности. Природные явления только подтверждают сохранность работы и энергозатрат, затраченных на ее выполнение.

На основании изложенного сформулировано положение:

где Ек – кинетическая энергия, Дж.

Рассматривая перемещения тела, наблюдаются изменения потенциальной и кинетической энергий. При этом сумма значений остается постоянной.

Проще всего проследить за изменениями между разными видами энергетических показателей при рассмотрении движения маятника.

В нижней точке не остается никаких запасенных эффектов от положения шарика. Он опустился да минимума. Теперь Ек =max.

Поучается, при совершении гармонических колебаний маятник поочередно накапливает то один, то другой вид энергии. Механические превращения из одного вида в другой налицо.

Кинетическая энергия

Движущееся тело характеризуется скалярной величиной (масса) и векторная величина (скорость). Если рассматривать реальное перемещение в пространстве, то можно записать уравнение для определения кинетической энергии:

здесь v – скорость движения тела, м/с.

Использование кинетического преобразования можно наблюдать при колке орехов.

Приподняв камень повыше, далекие предки создавали необходимый потенциал для тяжелого тела.

Приподняв камень на максимальную высоту, разрешают ему свободно падать.

Двигаясь с высоты h, он набирает скорость

Поэтому в конце падения будет получена кинетическая энергия

Рассматривая входящие величины, можно увидеть, как происходит преобразование величин. В конце получается расчетная формула для определения потенциальной энергии.

Даже на уровне вывода зависимостей можно наблюдать выполнение закона сохранения энергии твердого тела.

Использование энергии пружины на практике

Явление преобразования потенциальной энергии пружины в кинетическую используется при стрельбе из лука.

Натягивая тетиву, стреле сообщается потенциал для последующего движения. Чем жестче лук, а также ход при натягивании тетивы, тем выше будет запасенная энергия. Распрямляясь дуги этого оружия, придадут метательному снаряду значительную скорость.

В результате стрела полетит в цель. Ее поражающие свойства определятся величиной кинетической энергии (mv²/2).

Рассмотренные явления используют при проектировании механизмов и устройств для автоматизации процессов в разных отраслях промышленности.

: закон Гука и энергия упругой деформации.

Источник: https://metmastanki.ru/energiya-pruzhiny

Работа силы упругости. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Рас­смот­рим про­стую си­сте­му: мас­сив­ный груз, при­креп­лен­ный к пру­жине (см. рис. 1).

Рис. 1. Груз, при­креп­лен­ный к пру­жине

Пусть из­на­чаль­но си­сте­ма на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии рав­но­ве­сия, то есть пру­жи­на не де­фор­ми­ро­ван­ная, и груз по­ко­ит­ся. Вы­ве­дем эту си­сте­му из рав­но­ве­сия и сде­ла­ем так, чтобы пру­жи­на стала в сжа­том со­сто­я­нии (см. рис. 2).

Рис. 2. Си­сте­ма вы­ве­де­на из рав­но­ве­сия

Если на­пра­вить ось ОХ так, как по­ка­за­но на рис. 2, и рас­по­ло­жить на­ча­ло ко­ор­ди­нат там, где до на­ча­ла сжа­тия был рас­по­ло­жен центр груза, то про­ек­цию воз­ни­ка­ю­щей силы упру­го­сти на нашу ось ОХ можно за­пи­сать в виде:

,

где k – жест­кость пру­жи­ны, ве­ли­чи­на де­фор­ма­ции пру­жи­ны. Если предо­ста­вить пру­жи­ну самой себе, то груз будет сме­щать­ся влево, при этом сила упру­го­сти будет со­вер­шать ра­бо­ту. Пред­по­ло­жим, что левый конец пру­жи­ны вме­сте с гру­зом пе­ре­ме­стил­ся из по­ло­же­ния А в по­ло­же­ние В (см. рис. 3).

Рис. 3. Пе­ре­ме­ще­ние груза

В этом по­ло­же­нии де­фор­ма­ция пру­жи­ны равна уже не , а . А пе­ре­ме­ще­ние конца пру­жи­ны и од­но­вре­мен­но пе­ре­ме­ще­ние цен­тра груза равно раз­но­сти ко­ор­ди­нат . По­пы­та­ем­ся вы­чис­лить ра­бо­ту силы упру­го­сти, со­вер­шен­ную при таком дви­же­нии груза.

Вычисление работы силы упругости

Груз со­вер­шил из­вест­ное пе­ре­ме­ще­ние, ве­ли­чи­ну силы упру­го­сти мы также знаем, век­то­ры пе­ре­ме­ще­ния и силы упру­го­сти па­рал­лель­ны. Ка­за­лось бы, все ясно – нужно умно­жить ве­ли­чи­ну силы на ве­ли­чи­ну пе­ре­ме­ще­ния и по­лу­чить зна­че­ние ра­бо­ты. Од­на­ко здесь не все так про­сто – раз­бе­рем­ся по­че­му.

О чем нам го­во­рит фор­му­ла, ко­то­рая вы­ра­жа­ет ве­ли­чи­ну силы упру­го­сти? О том, что сила упру­го­сти – ве­ли­чи­на не по­сто­ян­ная, она ме­ня­ет­ся по мере пе­ре­ме­ще­ния груза. И дей­стви­тель­но, ве­ли­чи­на этой силы, как мы видим из фор­му­лы, за­ви­сит от ко­ор­ди­на­ты цен­тра груза.

Фор­му­ла же для ра­бо­ты силы, ко­то­рую мы при­ме­ня­ли рань­ше, спра­вед­ли­ва лишь в том слу­чае, если сила не ме­ня­ет свою ве­ли­чи­ну по мере дви­же­ния.

Как же тогда быть? Один из ва­ри­ан­тов вы­хо­да из дан­ной си­ту­а­ции мог бы со­сто­ять в том, что мы при­ме­ним такой же метод, ко­то­рый при­ме­нял­ся нами ранее в раз­де­ле ки­не­ма­ти­ка при рас­че­те пе­ре­ме­ще­ния тела, дви­жу­ще­го­ся рав­но­уско­рен­но.

Можно всю тра­ек­то­рию дви­же­ния груза раз­бить на очень ма­лень­кие участ­ки (участ­ки, в пре­де­лах ко­то­рых силу упру­го­сти можно счи­тать прак­ти­че­ски по­сто­ян­ной).

Далее в пре­де­лах каж­до­го та­ко­го участ­ка мы можем рас­счи­тать ра­бо­ту силы упру­го­сти ввиду ее прак­ти­че­ско­го по­сто­ян­ства. Затем ра­бо­та на всей об­ла­сти дви­же­ния груза будет скла­ды­вать­ся из всех этих ма­лень­ких работ на этих участ­ках.

Таким об­ра­зом, мы смо­жем по­счи­тать ра­бо­ту силы упру­го­сти на всей тра­ек­то­рии дви­же­ния груза. На рис. 4 при­ве­де­ны де­та­ли та­ко­го рас­че­та.

Рис. 4. За­ви­си­мость силы упру­го­сти от ко­ор­ди­на­ты дви­же­ния

Рис. 5. Пло­щадь фи­гу­ры

Если про­сум­ми­ро­вать зна­че­ние ра­бо­ты на каж­дом участ­ке (пло­щадь ма­лень­ких фигур), то по­лу­чим пло­щадь боль­шой фи­гу­ры, по­ка­зан­ной на рис. 6.

Рис. 6. Пло­щадь боль­шой фи­гу­ры

По­сколь­ку дан­ная фи­гу­ра яв­ля­ет­ся пря­мо­ли­ней­ной тра­пе­ци­ей, то мы можем вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой для рас­че­та пло­ща­ди такой фи­гу­ры – это по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний, умно­жен­ная на вы­со­ту. В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чим такую фор­му­лу – ра­бо­та равна раз­но­сти между ве­ли­чи­ной:

К этому ре­зуль­та­ту можно прий­ти и несколь­ко иным спо­со­бом. Для вы­чис­ле­ния ра­бо­ты силы упру­го­сти в этом спо­со­бе необ­хо­ди­мо про­сто взять сред­нее зна­че­ние силы упру­го­сти и умно­жить его на пе­ре­ме­ще­ние тела. Это утвер­жде­ние можно за­пи­сать как:

,

где  сред­нее зна­че­ние силы упру­го­сти, ко­то­рое равно по­лу­сум­ме на­чаль­но­го и ко­неч­но­го ее зна­че­ний. Если дан­ное вы­ра­же­ние  под­ста­вить в фор­му­лу для ра­бо­ты, то при по­мо­щи про­стых ал­геб­ра­и­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ний мы по­лу­чим то же самое вы­ра­же­ние, что по­лу­ча­ли ранее:

Как видно из этой фор­му­лы, ра­бо­та за­ви­сит лишь от на­чаль­ной и ко­неч­ной ко­ор­ди­на­ты цен­тра груза, и еще одно за­ме­ча­ние: как видно из по­след­ней фор­му­лы, ра­бо­та силы упру­го­сти ни­ко­им об­ра­зом не за­ви­сит от массы груза. Это обу­слов­ле­но тем, что и сама сила упру­го­сти не за­ви­сит от этой массы.

Те­перь вни­ма­тель­нее по­смот­рим на по­след­нюю фор­му­лу – если вы­не­сти -1 за скоб­ки, то по­лу­чим, что ра­бо­та есть взя­тая со зна­ком минус раз­ность между зна­че­ни­я­ми неко­то­рой ве­ли­чи­ны, рав­ной по­ло­вине про­из­ве­де­ния жест­ко­сти пру­жи­ны на квад­рат ее удли­не­ния в ко­неч­ный и на­чаль­ный мо­мен­ты вре­ме­ни.

Вспом­ним, как мы по­сту­пи­ли при рас­че­те ра­бо­ты силы тя­же­сти на про­шлом уроке.

Это ве­ли­чи­на, рав­ная про­из­ве­де­нию массы тела на уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния и вы­со­ту, на ко­то­рую было под­ня­то тело над неко­то­рым уров­нем, мы на­зва­ли по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей тела, под­ня­то­го над зем­лей.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Здесь по­сту­пим ана­ло­гич­ным об­ра­зом. Ве­ли­чи­ну, рав­ную по­ло­вине про­из­ве­де­ния жест­ко­сти пру­жи­ны на квад­рат ее удли­не­ния, на­зо­вем по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей де­фор­ми­ро­ван­ной пру­жи­ны.

Мы имеем право это сде­лать, по­сколь­ку из­ме­не­ние дан­ной ве­ли­чи­ны, взя­той с об­рат­ным зна­ком, равно ра­бо­те силы упру­го­сти.

Те­перь фор­му­лу для вы­чис­ле­ния ра­бо­ты силы упру­го­сти можно озву­чить по-дру­го­му: ра­бо­та силы упру­го­сти равна из­ме­не­нию по­тен­ци­аль­ной энер­гии упру­го де­фор­ми­ро­ван­но­го тела (пру­жи­ны), взя­то­му с об­рат­ным зна­ком:

Ра­бо­та силы упру­го­сти, как и ра­бо­та силы тя­же­сти, за­ви­сит толь­ко от на­чаль­но­го и ко­неч­но­го по­ло­же­ния цен­тра груза – это озна­ча­ет, что ра­бо­та силы упру­го­сти не за­ви­сит от формы тра­ек­то­рии груза, а в том слу­чае, когда тра­ек­то­рия яв­ля­ет­ся за­мкну­той, ра­бо­та силы упру­го­сти равна 0.

Если за на­ча­ло от­сче­та при­нять по­ло­же­ние груза при неде­фор­ми­ро­ван­ной пру­жине, а после при­нять, что удли­не­ние пру­жи­ны равно  (см. рис. 7), то фор­му­ла для ра­бо­ты силы упру­го­сти при­об­ре­та­ет вид:

Рис. 7. Вы­чис­ле­ние ра­бо­ты силы упру­го­сти

Но  – это по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны при ее удли­не­нии на ве­ли­чи­ну , сле­до­ва­тель­но, по­тен­ци­аль­ная энер­гия упру­го де­фор­ми­ро­ван­но­го тела равна ра­бо­те силы упру­го­сти при пе­ре­хо­де тела (пру­жи­ны) в со­сто­я­ние, в ко­то­ром его де­фор­ма­ция равна 0.

Когда мы опи­сы­ва­ли по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела, под­ня­то­го над зем­лей, мы го­во­ри­ли, что по­тен­ци­аль­ная энер­гия – это энер­гия вза­и­мо­дей­ствия тел и в том слу­чае это была энер­гия вза­и­мо­дей­ствия двух тел – груза и земли.

Те­перь рас­смот­рим за­да­чу.

 Задача

Ди­на­мо­метр, рас­счи­тан­ный на 40 Н, имеет пру­жи­ну жест­ко­стью 500 . Какую ра­бо­ту нужно со­вер­шить, чтобы рас­тя­нуть пру­жи­ну от се­ре­ди­ны шкалы до по­след­не­го де­ле­ния?

Ре­ше­ние за­да­чи

В усло­вии нам не дано зна­че­ний удли­не­ния пру­жи­ны ди­на­мо­мет­ра, по­это­му вве­дем его сами. Пусть удли­не­ние пру­жи­ны на се­ре­дине шкалы равно  (см. рис. 8).

Рис. 8. Удли­не­ние шкалы

Сле­до­ва­тель­но, когда пру­жи­на рас­тя­ну­та с мак­си­маль­ной силой, то удли­не­ние равно . Вос­поль­зу­ем­ся для по­след­не­го слу­чая за­ко­ном Гука, по­сколь­ку мы знаем зна­че­ние мак­си­маль­ной силы и жест­ко­сти пру­жи­ны.

От­ку­да:

Сле­до­ва­тель­но, нам необ­хо­ди­мо рас­счи­тать ра­бо­ту при удли­не­нии от 4 см до 8 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой, по­лу­чен­ной на уроке:

Ра­бо­та равна раз­но­сти между зна­че­ни­я­ми по­тен­ци­аль­ной энер­гии пру­жи­ны, рас­тя­ну­той до пол­но­го удли­не­ния и до пол­ви­ны.

Ответ: .

Те­перь мы с вами можем рас­счи­ты­вать по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела, под­ня­то­го над зем­лей, и по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела, ко­то­рое ис­пы­ты­ва­ет упру­гую де­фор­ма­цию.

Источник: https://100ballov.kz/mod/page/view.php?id=2667

Потенциальная энергия, ее определение, виды и формулы

Энергия, говоря простым языком, это возможность что-либо сделать, возможность совершить работу. То есть, если какое-либо тело может совершить какую-либо работу, то про это тело можно сказать, что оно обладает энергией.

По сути, энергия — это мера различных форм движения и взаимодействия материи, а её изменение происходит при совершении некоторой работы. Таким образом, совершённая работа всегда равна изменению какой-либо энергии.

А значит, рассматривая вопрос о совершённой телом работе, мы неизбежно приходим к изменению какого-либо вида энергии.

Вспомним также и тот факт, что работа совершается только в том случае, когда тело под действием некоторой силы движется, и при этом сама работа определяется как скалярное произведение вектора этой силы и вектора перемещения, то есть А = F*s*cosa, где а — угол между вектором силы и вектором перемещения. Это нам пригодится в дальнейшем для вывода формул различных видов энергии.

Энергию, связанную с взаимодействием тел, называют ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ. Иначе говоря, если тело за счёт взаимодействия с другим телом может совершить некоторую работу, то оно будет обладать потенциальной энергией, и при совершении работы будет происходить изменение этой энергии. Обозначают механическую потенциальную энергию чаще всего — Еп.

Виды потенциальной энергии

Существуют различные виды потенциальной энергии.

К примеру, любое тело на Земле находится в гравитационном взаимодействии с Землёй, а значит обладает потенциальной энергией гравитационного взаимодействия.

И ещё пример — витки растянутой или сжатой пружины находятся в упругом взаимодействии друг с другом, а значит сжатая или растянутая пружина будет обладать потенциальной энергией упругого взаимодействия.

Далее мы рассмотрим только виды механической потенциальной энергии и формулы, по которым их можно рассчитать. Но в дальнейшем вы узнаете и о других видах потенциальной энергии — к примеру, о потенциальной энергии электрического взаимодействия заряженных тел, о потенциальной энергии взаимодействия электрона с атомным ядром.

Знакомьтесь: наш мир. Физика всего на свете.

Книга адресована школьникам старших классов, студентам, преподавателям и учителям физики, а также всем тем, кто хочет понять, что происходит в мире вокруг нас, и воспитать в себе научный взгляд на все многообразие явлений природы. Каждый раздел книги представляет собой, по сути, набор физических задач, решая которые читатель укрепит свое понимание физических законов и научится применять их в практически интересных случаях.

Купить

Формулы потенциальной энергии

Перед тем как приступить к выводу формул потенциальной энергии, ещё раз вспомним, что совершённая телом или над телом работа равна изменению его энергии.

При этом, если само тело совершает работу, то его энергия уменьшается, а если над телом совершают работу, то его энергия увеличивается.

К примеру, если спортсмен поднимает штангу, то он сообщает ей потенциальную энергию гравитационного взаимодействия, а если он отпускает штангу и она падает, то потенциальная энергия гравитационного взаимодействия штанги с Землёй уменьшается.

А) Чтобы вывести формулу потенциальной энергии гравитационного взаимодействия, рассмотрим, какую работу совершает тело, двигаясь под действием силы тяжести:

А = F*s = mg*s = mg*(h1 — h2) = mgh1 — mgh2 = Eп1 — Еп2, то есть, мы получили, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела с Землёй может быть вычислена по формуле: Еп = mgh.

Здесь важно отметить, что поверхность Земли принимается за начало отсчёта высоты, то есть для тела, находящегося на поверхности Земли Еп = 0, для тела, поднятого над Землёй Еп > 0, а для тела, находящегося в яме глубиной h, Еп < 0.

Отметим также и то, что в формуле работы отсутсвовал cosa. Это не случайно. Ведь если тело движется по сложной траектории, то, какой бы сложной она ни была, её можно разбить на множество вертикальных и горизонтальных участков.

Но на горизонтальных участках работа силы тяжести будет равна нулю, так как угол между силой тяжести и перемещением будет прямым, а значит работа будет совершаться только на вертикальных участках траектории, для которых cosa = 1 или cosa = −1.

Тогда можно сделать ещё один важный вывод — работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а только от расположения начальной и конечной точки. А это не случайность — это свойство любых сил, сообщающих телам потенциальную энергию. Такие силы называют потенциальными и сила тяжести — одна из них. К потенциальным силам относится и сила упругости.

Б) Чтобы вывести формулу потенциальной энергии упругой деформации, рассмотрим, какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину, изменив её длину на х (х = l — l0):

А = –Fупр(ср.)*s,

Во-вторых, возникающая при растяжении пружины сила упругости является переменной силой, в отличие от силы тяжести, поэтому в формуле работы стоит средняя сила упругости. При этом величина силы упругости, в соответствии с законом Гука, прямо пропорциональна изменению длины пружины, а значит её среднее значение можно определить так:

Fупр(ср.) = (Fупр(нач.) + Fупр(конеч.))/2

И так как Fупр(нач.) = 0, а Fупр(конеч.) = kх, то:

А = —kх*s/2

Но s = x, поэтому: А = —kx2/2 = 0 — kх2/2 = Еп1 — Еп2.

В итоге, мы получили формулу потенциальной энергии упругой деформации: Еп = kx2/2.

Методические советы учителям

1) Обязательно обратите внимание учащихся на связь энергии и работы.

2) Не давайте учащимся формулы потенциальной энергии без вывода.

3) Обратите внимание учащихся на то, что оба вида потенциальной энергии зависят от выбора начальной точки, то есть от системы координат.

4) При выводе формул потенциальной энергии обязательно поясните учащимся почему отсутствует cosa в формуле работы.

5) Отметьте, что и работа силы тяжести, и работа силы упругости не зависят от формы траектории и, следовательно равны нулю на замкнутой траектории — это общее и важное свойство всех потенциальных сил.

#ADVERTISING_INSERT#

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/potentsialnaya-energiya/